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公式に用いられるcos(コサイン)

昨日まで、放射線取扱主任者試験で知っておきたい数学の知識として対数と指数に関して書きました。
今日は三角関数について書きたいと思います。

放射線取扱主任者試験で出題される三角関数は、ほとんどcos(コサイン)に関するものだと思います。



①チェレンコフ放射(放射線概論P.94-95,99)

チェレンコフ放射は、荷電粒子が物質中を運動する時、荷電粒子の速度がその物質中の光速度(c/n)よりも速い場合に光が出る現象です。
cは光速、nはその物質の屈折率です。
このとき出る光をチェレンコフ光といいます。
水中ではn>1となるためチェレンコフ光が起こることがありますが、空気中では起こりません。
水中では電子が通過する際には。0.26MeV以上のエネルギーで起こりえます。

チェレンコフ光の例としては、原子力発電所の燃料が入ったプールの中で見える青白い光があります。

荷電粒子が進行する方向に対してθ方向にチェレンコフ光を観測することができます。

チェレンコフ光

   

 

チェレンコフ光に関する過去問題

平成18年度物理問14
平成19年度物理問14
平成20年度物化生問Ⅱ3
平成24年度物理問13,14


②GM計数管などによるβ線源の放射能測定の際の幾何学的効率G
(放射線概論P.346)

幾何学的効率

上図のような測定の場合、計数管の線源に対する幾何学的効率Gは、

 
 
③コンプトン散乱

コンプトン散乱

コンプトン散乱2

光子と物質との弾性散乱であり、光子が軌道電子を放出する現象です。

散乱後の光子のエネルギーは放出された電子のエネルギーEだけ小さくなるため、波長λが長くなります。(振動数は小さくなります) 
コンプトン散乱の確率(断面積)は、物質の原子番号に比例します。
入射光子のエネルギーは散乱光子とコンプトン電子に分配され、入射光子の全エネルギーがコンプトン電子に与えられることはありません。また、図から明らかなように、コンプトン電子は図から後方に反跳されることはありあません。(0<φ<90)
散乱光子は入射光子のエネルギーによっては後方に散乱されることもありますが、入射光子のエネルギーが大きくなると前方に散乱されやすくなります。

コンプトン散乱で覚えたい式は、

・コンプトン散乱後の散乱光子のエネルギーE'γ

 

よって、コンプトン電子のエネルギーEeは、

 

・散乱光子の波長λと入射光子の波長λ0の差

  

コンプトン散乱は光子と物質の相互作用で非常に出題頻度の高い重要分野ですので、また後日「光子と物質の相互作用」として、光電効果電子対生成と一緒に解説したいと思います。

ちなみに、コンプトン散乱に関する過去の問題は非常に多く、

平成17年度物理問17
平成18年度物理問17,18,19,20
平成19年度物理問12,18,20
平成20年度物理問18,19,21
平成21年度物理問20
平成22年度物理問18,19
平成22年度物化生問2Ⅱ
平成23年度物理問16,18
平成22年度物化生問1Ⅲ
平成24年度物理問15,16,18

などがあります。

④中性子と原子核の弾性散乱(放射線概論P.122)

中性子と原子核が弾性散乱する場合の反跳エネルギーは、
E:反跳エネルギー、m:中性子の質量、M:原子核の質量、En:中性子のエネルギー、φ:重心系での中性子の散乱角 として、

  

反跳エネルギーEの最大値は、散乱角φが180°、すなわち中性子と原子核が正面衝突で中性子が180°後方に跳ね返る場合になります。
そのときの反跳エネルギーEは、

 

となります。

中性子の質量mは1なので、M=1、すなわち陽子(水素原子の原子核)との衝突ではE=Enとなり、中性子が最初にもっていたエネルギーは全て原子核に与えられ中性子は止まることになります。
そのため、中性子の遮へいは水素を多く有するポリエチレンなどや水が使用されるのです。

反跳エネルギーは同質量同士の正面衝突のとき最大となります。

例:中性子と水素α粒子と4He



平成18年度物理問23
平成18年度物化生問3
平成20年度物理問22
平成21年度物化生問2Ⅱ
平成22年度物化生問1Ⅱ
平成23年度物理問10,19




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試験に必要な数学 3

昨日、一昨日と試験で知っておきたい数学の知識について書いています。
今日も少しその続きについて書きたいと思います。

一昨日、放射能は経過時間とともに指数関数的に減少し、その減少は以下の式で表せることを書きました。

 

ここで、半減期Tはある時点での放射能がその放射能の1/2になるのまでに要する時間になることも一昨日書きました。

今日は少し難しくなるかもしれませんが、
この「放射能の経時変化を表すグラフにおいて面積を求める計算方法」について書きたいと思います。

「面積をなぜ求める必要があるのか?」と思うかもしれませんが、
縦軸を放射能[Bq]とした場合、面積は経過した時間内全てにおいて寄与した放射能に相当し、また縦軸をカウント[cpm]とした場合には、面積は経過した時間内全てにおいてかカウントされた放射線の計数に相当します。

過去の放射線主任者試験では、

平成18年度化学問4
平成19年度化学問11
平成24年度化学問1

などではこの面積を求める計算が必要となります。

では、実際にどうやって計算するかを書きたいと思います。
難しくなってしまうかもしれませんが、積分を使用します。

例えば、下図の赤斜線の部分の面積を求めてみましょう。

半減期図2


上述しました「放射能の経過時間を表す指数関数」を時間を表すx軸で0から半減期のTまでの間を積分します。
面積Sは

 

ここで、私個人的には、積分は指数関数の場合1/2よりも自然対数の底であるeの方が計算しやすいと思っています。
そこで、一昨日も書きましたが、「放射能の経過時間を表す式」は以下の式として表すこともできます。

  

ここで、壊変定数λは一昨日も計算しましたとおり、

 

より、

 

と表せます。

よって、

 

これを計算しましょう。

 

ここで、以下の公式を利用して、

 

 


 

よって、

 

      

ここで、e^{ln(1/2)}がなぜ1/2になるかというと対数を取ると分かります。

 

とすると、両辺の自然対数を取ると

 

 

よって、

 

すなわち、
 
 

元々、xは 

 

なので、

 



今日は少し難しかったかもしれませんが、過去の問題

平成18年度化学問4
平成19年度化学問11
平成24年度化学問1

を解く際に参考にしてみてください。


 

試験に必要な数学 2

昨日、放射線を学ぶ上で必要な数学の知識として対数について記述しました。

放射線取扱主任者試験において対数を用いる計算の例として、

・放射平衡に関する分野で、原子数が最大になる時間(放射線概論P.137)
 → http://radioisotope1.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

平成21年度化学問12

 

・半価層、1/10価層(μ:線減弱係数)

 

  
 
半価層、1/10価層については、また後日書きたいと思います。


また、放射線取扱主任者試験では指数の計算も必要になってきます。

例えば、放射線核種の核種純度の計算などでは指数の計算が必要となります。

平成18年度化学問28
平成20年度化学問23

核種純度に関しても、後日書きたいと思います。



指数の計算で覚えたい公式は、

 

 

試験に必要な数学

今日は、放射線取扱主任者試験で知っておいた方がよい数学の知識に関して少し書きたいと思います。

第一種放射線主任者試験で必要な数学で一番知っておいた方がよいものは、指数、対数に関する知識ではないでしょうか。

放射線を扱う分野では、核種の半減期については避けては通れないことです。

半減期とは、物質の量が半分になる時間のことで、
放射性核種に関して言えば、放射線を出す能力(放射能)が元の半分になるまでの期間のことを言います。

半減期を表す図は以下のようになります。

半減期図

放射能が経過時間とともに指数関数的に減少していることが分かります。
式で表すと、
t=0の放射能をA0、半減期をTとして

  

となります。
t=TでA0がAの2分の1になっていますね。

この式は、壊変定数λを用いて以下の式のように表されるときもあります。

 

このeはネイピア数と呼ばれています(覚える必要はありません)
ただ、このeは自然対数の低として用いられることは知っておいた方がいいでしょう。

上2式は等しいので、
 
 

両辺の対数をとると
(底がeの対数、すなわち自然対数はlnで表し、底が10の対数、常用対数はlogで表す)

 

  

よって、壊変定数λを
 
 

と導けます。

今日覚えておきたい数学は、対数の取り扱いです。
aのx乗の対数をとると、定数のxが前に降りてきて、xとaの対数との積と同じになります。
これは、上述した自然対数(ln)でも常用対数(log)でも同じです。

 

対数を言葉で説明すると、以下の式のようになります。

「eのx乗がaである場合に、このxがln a」
 

「10のx乗がaである場合に、このxがlog a」
  

「2のx乗がaである場合に、このxがlog(2) a」
 

たとえば、

 
 

 
 



その他、対数で覚えておきたい公式は、
 
 
 


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